Problem other/agh/2025/1.5.tex

\section*{Zadanie 5}

\subsection*{Treść zadania}

Na okręgu o równaniu
$$
x^2 + y^2 - 8x - 6y + 5 = 0
$$
opisany jest romb. Jednym z jego wierzchołków jest punkt $A = (8,0)$. Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków rombu i oblicz jego pole.

\subsection*{Rozwiązanie}

Równanie okręgu
\[
x^2+y^2-8x-6y+5=0
\]
przekształcamy przez dopełnienie kwadratów:
\[
(x-4)^2+(y-3)^2=20,
\]
więc środek okręgu to \(C=(4,3)\), a promień \(r=\sqrt{20}=2\sqrt5\).

Z treści (oznaczającej, że okrąg jest wewnątrz rombu i jest jego okręgiem wpisanym) wynika, że środek okręgu pokrywa się ze środkiem rombu (przecięciem przekątnych). Zatem drugi wierzchołek leżący naprzeciw \(A\) (symetryczny względem środka \(C\)) to
\[
A' = 2C - A = 2(4,3) - (8,0) = (0,6).
\]

Oznaczmy długości przekątnych rombu przez \(d_1=|AA'|\) i \(d_2\). Mamy
\[
d_1 = |A A'| = \sqrt{(-8)^2+6^2}=\sqrt{100}=10.
\]
Dla rombu pole można zapisać jako połowę iloczynu przekątnych:
\[
\text{Pole} = \frac{d_1 d_2}{2}.
\]
Z drugiej strony, dla czworokąta opisanego na okręgu (tutaj rombu opisanego na okręgu) zachodzi wzór na pole wykorzystujący promień okręgu wpisanego \(r\) i połowę obwodu: dla rombu o boku \(s\) połowa obwodu to \(p=\tfrac{4s}{2}=2s\), a więc
\[
\text{Pole} = r\cdot p = 2 r s.
\]
Zależność pomiędzy długościami przekątnych i bokiem (z \textit{tw. Pitagorasa}):
\[
s = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}.
\]
Łącząc powyższe otrzymujemy równanie na \(d_2\):
\[
\frac{d_1 d_2}{2} \;=\; 2 r \cdot \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}
\quad\Longrightarrow\quad
d_1 d_2 = 2 r \sqrt{d_1^2+d_2^2}.
\]
Podstawiając \(d_1=10\) i \(r^2=20\) (więc \(r=2\sqrt5\)) i przekształcając (podnosząc do kwadratu):
\[
100\,d_2^2 = 4r^2(100+d_2^2)=80(100+d_2^2).
\]
Stąd
\begin{align*}
100d_2^2 &= 8000 + 80 d_2^2 \\
20 d_2^2 &= 8000 \\
d_2^2 &= 400
\end{align*}
czyli \(d_2=20\).

Połowy przekątnych mają długości \(d_1/2=5\) i \(d_2/2=10\). Wektor $\overrightarrow{CA}$ jest równy:
\[
\overrightarrow{CA} = A-C = (8,0)-(4,3)=(4,-3),
\]
który ma długość \(5\). 

Spróbujmy skonstruować wektor połowy drugiej przekątnej (zaczynając w punkcie $C$).

Wektor ten musi być prostopadły do \(\overrightarrow{CA}\). Wektor prostopadły do \((4,-3)\) można wybrać jako \((3,4)\) — ma on długość \(5\). Skoro połowa drugiej przekątnej to $10$ to pomnóżmy przez $2$: \(2(3,4)=(6,8)\).

Stąd współrzędne pozostałych wierzchołków (możemy tak zrobić ponieważ skonstruowany wektor jest odpowiedniej długości i jest prostopadły do $\overrightarrow{CA}$):
\[
B = C + (6,8) = (4+6,\,3+8)=(10,11),
\]
\[
D = C - (6,8) = (4-6,\,3-8)=(-2,-5).
\]

Pole rombu:
\[
S = \frac{d_1 d_2}{2} = \frac{10\cdot 20}{2} = 100.
\]

Stąd ostatecznie wierzchołki i pole rombu:
\begin{align*}
A=(8,0) &\quad B=(10,11) \\ 
A'=(0,6) &\quad D=(-2,-5)
\end{align*}
$S=100$

\bigskip

\begin{figure}[H]
% \begin{center}
\centering
\resizebox{\columnwidth}{!}{%
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
  % parametry
  \pgfmathsetmacro{\Cx}{4}
  \pgfmathsetmacro{\Cy}{3}
  \pgfmathsetmacro{\r}{sqrt(20)} % promien
  % punkty
  \coordinate (C) at (\Cx,\Cy);
  \coordinate (A) at (8,0);
  \coordinate (Ap) at (0,6);
  \coordinate (B) at (10,11);
  \coordinate (D) at (-2,-5);
  % rysowanie rombu i okregu
  \draw[fill=gray!10,draw=black,thick] (A) -- (B) -- (Ap) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick,blue] (C) circle (\r);
  % przekatne
  \draw[dashed] (A) -- (Ap);
  \draw[dashed] (B) -- (D);
  % osie pomocnicze
  \draw[->,thin] (-4.5,0) -- (12.5,0) node[right] {};
  \draw[->,thin] (0,-6.5) -- (0,13.5) node[above] {};
  % punkty i etykiety
  \fill (A) circle (2.5pt) node[below right] {$A(8,0)$};
  \fill (B) circle (2.5pt) node[above right] {$B(10,11)$};
  \fill (Ap) circle (2.5pt) node[above left] {$A'(0,6)$};
  \fill (D) circle (2.5pt) node[below left] {$D(-2,-5)$};
  \fill (C) circle (2.5pt) node[below right] {$C(4,3)$};
  % dodatkowe opisy
  \node[below] at (6.5,1.2) {okrąg wpisany (środek $C$)};
\end{tikzpicture}%
}
\caption{Rysunek pomocniczy}
\end{figure}