Problem other/agh/2025/1.6.tex

\section*{Zadanie 6}

\subsection*{Treść zadania}

Liczba $k$ jest iloczynem wszystkich liczb całkowitych $a$, dla których równanie
$$
\frac{4a}{1+y} = 3a - 5
$$
(o niewiadomej $y$) ma wyłącznie ujemne rozwiązania. Rozwiąż nierówność
$$
\sqrt[3]{24+x} \geq 6 - \sqrt{k-x-12}.
$$

\subsection*{Rozwiązanie}

\textbf{Część 1: Wyznaczenie wartości k}

Najpierw rozważmy równanie o niewiadomej $y$:
$$
\frac{4a}{1+y} = 3a - 5.
$$
Założenie: $y \neq -1$.
Przemnóżmy obie strony przez $1+y$:
$$
4a = (3a - 5)(1 + y).
$$
Jeżeli $3a-5 = 0$, czyli $a = \frac{5}{3}$, równanie przyjmuje postać $4 \cdot \frac{5}{3} = 0$, co jest sprzecznością. Zatem $a \neq \frac{5}{3}$. Możemy podzielić obie strony przez $(3a-5)$:
$$
\frac{4a}{3a-5} = 1 + y,
$$
skąd wyznaczamy $y$:
$$
y = \frac{4a}{3a-5} - 1 = \frac{4a - (3a-5)}{3a-5} = \frac{a+5}{3a-5}.
$$
Zgodnie z treścią zadania, rozwiązanie ma być wyłącznie ujemne, więc $y < 0$. Ponadto, musimy sprawdzić, czy nasze rozwiązanie nie jest równe $-1$.
\begin{align*}
\frac{a+5}{3a-5} &\neq -1 \\
a+5 &\neq -(3a-5) \\
a+5 &\neq -3a+5 \\
4a &\neq 0 \\
a &\neq 0 
\end{align*}
Warunek $y < 0$ prowadzi do nierówności:
\[
\frac{a + 5}{3a - 5} < 0.
\]
Iloraz jest ujemny, gdy licznik i mianownik mają przeciwne znaki. Miejscami zerowymi licznika i mianownika są $a=-5$ oraz $a=\frac{5}{3}$. Analizując znaki wyrażenia $(a+5)(3a-5)$, otrzymujemy:
\[
a \in \left(-5, \frac{5}{3}\right).
\]
Szukamy liczb \textbf{całkowitych} $a$ z tego przedziału, które dodatkowo spełniają warunek $a \neq 0$. Są to:
$$
a \in \left\{-4, -3, -2, -1, 1\right\}.
$$
Liczba $k$ jest iloczynem tych liczb:
\[
k = (-4)\cdot(-3)\cdot(-2)\cdot(-1)\cdot 1 = 24.
\]

\vspace{12pt}
\textbf{Część 2: Rozwiązanie nierówności}

Podstawiamy $k=24$ do nierówności:
\[
\sqrt[3]{24+x} \geq 6 - \sqrt{24-x-12},
\]
co daje:
\[
\sqrt[3]{24+x} \geq 6 - \sqrt{12-x}.
\]
Wyznaczmy dziedzinę nierówności. Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne:
\[
12-x \ge 0 \implies x \le 12.
\]
Dziedziną jest $D = (-\infty, 12]$.

Aby uprościć nierówność, zastosujmy podstawienie:
\[
t=\sqrt[3]{24+x} \implies t^3=24+x \implies x=t^3-24.
\]
Podstawiamy $x$ do wyrażenia pod pierwiastkiem kwadratowym:
\[
\sqrt{12-x}=\sqrt{12-(t^3-24)}=\sqrt{36-t^3}.
\]
Nierówność przyjmuje postać:
\[
t \ge 6-\sqrt{36-t^3}.
\]
Dziedzina dla zmiennej $t$ wynika z warunku nieujemności wyrażenia pod pierwiastkiem:
\[
36-t^3\ge0 \implies t^3\le 36 \implies t\le\sqrt[3]{36}.
\]
Ponieważ $3^3=27$ i $4^3=64$, to $3 < \sqrt[3]{36} < 4$.

Przekształcamy nierówność do postaci:
\[
\sqrt{36-t^3}\ge 6-t.
\]
Zauważmy, że w naszej dziedzinie ($t \le \sqrt[3]{36} \approx 3,3$), prawa strona $6-t$ jest zawsze dodatnia. Ponieważ lewa strona jest również nieujemna, możemy podnieść obie strony do kwadratu:
\[
36-t^3 \ge (6-t)^2
\]
\[
36-t^3 \ge 36-12t+t^2.
\]
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
\[
0 \ge t^3+t^2-12t.
\]
Rozkładamy wielomian na czynniki:
\[
t(t^2+t-12)\le 0
\]
\[
t(t+4)(t-3)\le 0.
\]
Miejscami zerowymi tego wielomianu są $t_1=-4, t_2=0, t_3=3$. Szkicujemy wykres wielomianu, aby odczytać rozwiązanie nierówności.

\begin{figure}[h!]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            width=\columnwidth,
            axis lines=middle,
            xlabel={$t$},        
            ylabel={$f(x)$},      
            xlabel style={anchor=north east}, 
            ylabel style={anchor=north east}, 
            xtick={-4, 0, 3},    
            ytick=\empty,       
            enlarge x limits={abs=0.7}, 
            domain=-5:4.5,      
            samples=101,        
            clip=false,       
        ]
        
        \addplot[blue, thick, smooth] {x*(x+4)*(x-3)};
        
        \node[scale=1.5] at (axis cs:-5, -20) {$-$};
        \node[scale=1.5] at (axis cs:-2.5, 10) {$+$};
        \node[scale=1.5] at (axis cs:1.5, -8) {$-$};
        \node[scale=1.5] at (axis cs:4.5, 25) {$+$};

        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{Wykres $f(t) = t(t+4)(t-3)$}
    \label{fig:polynomial_plot}
\end{figure}

Z wykresu (patrz rys. \ref{fig:polynomial_plot}) odczytujemy, że nierówność $t(t+4)(t-3)\le 0$ jest spełniona dla:
\[
t \in (-\infty, -4] \cup [0, 3].
\]
Musimy uwzględnić dziedzinę dla $t$, czyli $t \le \sqrt[3]{36}$. Ponieważ $\sqrt[3]{36} \approx 3,3$, a wszystkie wartości w otrzymanym zbiorze są mniejsze lub równe 3, dziedzina nie ogranicza dodatkowo naszego rozwiązania dla $t$.

Teraz wracamy do podstawienia $x = t^3 - 24$.

\begin{enumerate}
    \item Dla $t \in (-\infty, -4]$:
    \[
    t \le -4 \implies t^3 \le (-4)^3 \implies t^3 \le -64.
    \]
    Podstawiamy $t^3 = 24+x$:
    \[
    24+x \le -64 \implies x \le -88.
    \]
    
    \item Dla $t \in [0, 3]$:
    \[
    0 \le t \le 3 \implies 0^3 \le t^3 \le 3^3 \implies 0 \le t^3 \le 27.
    \]
    Podstawiamy $t^3 = 24+x$:
    \[
    0 \le 24+x \le 27.
    \]
    Odejmujemy 24 od wszystkich stron:
    \[
    -24 \le x \le 3.
    \]
\end{enumerate}

Rozwiązaniem jest suma otrzymanych przedziałów: $x \in (-\infty, -88] \cup [-24, 3]$.
Sprawdzamy zgodność z dziedziną $x \le 12$. Otrzymany zbiór w całości zawiera się w dziedzinie.

\subsection*{Odpowiedź}
Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $x \in (-\infty, -88] \cup [-24, 3]$.