Problem other/agh/2025/1.7.tex

← Back

Zadanie 7

Treść zadania

Trójkąt prostokątny opisany jest na półkolu o promieniu $r$ w taki sposób, że jeden z boków zawiera średnicę półkola. Wyznacz wymiary tego trójkąta, który ma najmniejsze pole.

Rozwiązanie

Rozważmy dwa możliwe przypadki w zależności od tego, na którym boku trójkąta leży średnica półkola.
\caption{Przypadek 2: Średnica na przeciwprostokątnej.}
\caption{Dwa możliwe położenia półkola w trójkącie prostokątnym.}
Figure 1: Przypadek 1: Średnica na przyprostokątnej.
\subsubsection*{Przypadek 1: Średnica leży na jednej z przyprostokątnych}
Niech przyprostokątne trójkąta mają długości $x$ i $y$. Załóżmy, że średnica półkola leży na boku o długości $x$ (patrz Rysunek Figure 1).
Wierzchołek przy kącie prostym oznaczmy jako $C$. Środek półkola $O$ leży na boku $BC$ o długości $x$. Półkole jest styczne do drugiej przyprostokątnej $AC$ (o długości $y$) oraz do przeciwprostokątnej $AB$.
Ponieważ półkole jest styczne do boku $AC$ w punkcie $C$, odległość jego środka $O$ od boku $AC$ musi być równa promieniowi $r$. Oznacza to, że $|OC| = r$.
Oznaczmy kąt przy wierzchołku $B$ jako $\beta$. Z trójkąta $ABC$ mamy: $$ \tan \beta = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{y}{x} $$
Niech $E$ będzie punktem styczności półkola z przeciwprostokątną $AB$. Trójkąt $OEB$ jest prostokątny (kąt przy $E$ jest prosty). Mamy $|OE|=r$ oraz $|OB| = |BC| - |OC| = x - r$. Z trójkąta $OEB$ wynika: $$ \sin \beta = \frac{|OE|}{|OB|} = \frac{r}{x-r} $$
Musimy teraz powiązać $\tan \beta$ i $\sin \beta$. Korzystając z tożsamości $\frac{1}{\sin^2 \beta} = 1 + \cot^2 \beta = 1 + \frac{1}{\tan^2 \beta}$, otrzymujemy: \begin{align*} \left(\frac{x-r}{r}\right)^2 &= 1 + \left(\frac{x}{y}\right)^2 \\ \frac{x^2 - 2xr + r^2}{r^2} &= \frac{y^2 + x^2}{y^2} \end{align*}
Przekształcając, wyznaczamy $y$ w zależności od $x$: \begin{align*} y^2(x^2 - 2xr + r^2) &= r^2(y^2 + x^2)\\ y^2x^2 - 2xry^2 + y^2r^2 &= r^2y^2 + r^2x^2\\ y^2x^2 - 2xry^2 &= r^2x^2 \end{align*}
Dzieląc obie strony przez $x$ (zakładamy $x>2r>0$): \begin{align*} y^2x - 2ry^2 = r^2x &\implies y^2(x-2r) = r^2x \\ y^2 = \frac{r^2x}{x-2r} &\implies y = r\sqrt{\frac{x}{x-2r}} \end{align*}
Pole trójkąta $P$ jest funkcją zmiennej $x$: $$ P(x) = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}x \cdot r\sqrt{\frac{x}{x-2r}} = \frac{r}{2}\sqrt{\frac{x^3}{x-2r}} $$
Aby znaleźć minimum pola, wystarczy znaleźć minimum funkcji $f(x) = [P(x)]^2 = \frac{r^2}{4}\frac{x^3}{x-2r}$.
Liczymy pochodną $f'(x)$: \begin{align*} f'(x) &= \frac{r^2}{4} \cdot \frac{3x^2(x-2r) - x^3(1)}{(x-2r)^2} = \frac{r^2}{4} \cdot \frac{3x^3 - 6rx^2 - x^3}{(x-2r)^2} \\ f'(x) &= \frac{r^2}{4} \cdot \frac{2x^3 - 6rx^2}{(x-2r)^2} = \frac{r^2x^2(x-3r)}{2(x-2r)^2} \end{align*}
Pochodna zeruje się dla $x=3r$. Analiza znaku pochodnej pokazuje, że dla $x<3r$ jest ona ujemna, a dla $x>3r$ dodatnia, więc w punkcie $x=3r$ funkcja osiąga minimum.
Dla $x=3r$ obliczamy $y$: $$ y = r\sqrt{\frac{3r}{3r-2r}} = r\sqrt{\frac{3r}{r}} = r\sqrt{3} $$
Minimalne pole w tym przypadku wynosi: $$ P_1 = \frac{1}{2}(3r)(r\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2 \approx 2.598 r^2 $$
\subsubsection*{Przypadek 2: Średnica leży na przeciwprostokątnej}
Niech przyprostokątne trójkąta mają długości $a$ i $b$ (patrz Rysunek ??).
Wierzchołek z kątem prostym umieszczamy w początku układu współrzędnych $C(0,0)$. Wierzchołki to $A(0,b)$ i $B(a,0)$.
Półkole jest styczne do obu przyprostokątnych. Oznacza to, że jego środek $O$ musi być równo oddalony od osi $x$ i $y$. Zatem współrzędne środka to $O(r,r)$.
Średnica półkola leży na przeciwprostokątnej, więc środek $O(r,r)$ musi leżeć na prostej przechodzącej przez punkty $A(0,b)$ i $B(a,0)$.
Równanie tej prostej to: $$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $$
Podstawiając współrzędne punktu $O(r,r)$, otrzymujemy zależność między $a$ i $b$: $$ \frac{r}{a} + \frac{r}{b} = 1 \implies r\left(\frac{a+b}{ab}\right) = 1 \implies ab = r(a+b) $$
Pole trójkąta wynosi $P = \frac{1}{2}ab$. Korzystając z powyższej zależności: $$ P = \frac{1}{2}r(a+b) $$
Minimalizacja pola $P$ jest równoważna minimalizacji sumy $a+b$ przy warunku $ab=r(a+b)$.
Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM) wiemy, że $a+b \geq 2\sqrt{ab}$. Podstawiając $ab = r(a+b)$, mamy: $$ a+b \geq 2\sqrt{r(a+b)} $$
Podnosząc do kwadratu (obie strony są dodatnie): $$ (a+b)^2 \geq 4r(a+b) $$
Dzieląc przez $a+b$ (które jest dodatnie): $$ a+b \geq 4r $$
Minimalna wartość sumy $a+b$ wynosi $4r$. Równość w nierówności AM-GM zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a=b$.
Jeśli $a=b$, to z warunku $ab=r(a+b)$ otrzymujemy: $$ a^2 = r(a+a) \implies a^2 = 2ra $$
Ponieważ $a>0$, możemy podzielić przez $a$, co daje $a=2r$. Zatem $a=b=2r$.
Wymiary trójkąta to przyprostokątne o długości $2r$. Jest to trójkąt prostokątny równoramienny.
Minimalne pole w tym przypadku wynosi: $$ P_2 = \frac{1}{2}a \cdot b = \frac{1}{2}(2r)(2r) = 2r^2 $$
\subsubsection*{Porównanie i odpowiedź}
Porównajmy minimalne pola z obu przypadków: \begin{align*} P_1 &= \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2 \approx 2.598 r^2 \\ P_2 &= 2r^2 \end{align*}
Ponieważ $3\sqrt{3} > 2$ (gdyż $(3\sqrt{3})^2 = 27$ a $4^2 = 16$), to $P_1 > P_2$.
Najmniejsze pole ma trójkąt, w którym średnica półkola leży na przeciwprostokątnej.
Odpowiedź: Trójkąt o najmniejszym polu to trójkąt prostokątny równoramienny, którego przyprostokątne mają długość $2r$. Jego przeciwprostokątna ma długość $2r\sqrt{2}$. 
\section*{Zadanie 7}

\subsection*{Treść zadania}

Trójkąt prostokątny opisany jest na półkolu o promieniu $r$ w taki sposób, że
jeden z boków zawiera średnicę półkola. Wyznacz wymiary tego trójkąta, który
ma najmniejsze pole.

\subsection*{Rozwiązanie}

Rozważmy dwa możliwe przypadki w zależności od tego, na którym boku trójkąta leży średnica półkola.

\begin{figure*}[t!]
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=1.2, font=\small]
            % Parameters
            \def\r{1}
            \pgfmathsetmacro{\x}{3*\r}
            \pgfmathsetmacro{\y}{\r*sqrt(3)}
            % Triangle coordinates
            \coordinate (C) at (0,0);
            \coordinate (B) at (\x,0);
            \coordinate (A) at (0,\y);
            \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
            % Labels and right-angle marker
            \node[below left] at (C) {$C$};
            \node[below right] at (B) {$B$};
            \node[above left] at (A) {$A$};
            \draw (0,0.2) -- (0.2,0.2) -- (0.2,0);
            % Semicircle centred at (r,0)
            \coordinate (Oa) at (\r,0);
            \draw[blue, thick] (Oa) ++(\r,0) arc (0:180:\r);
            \draw[blue, dashed] (Oa) ++(-\r,0) -- (Oa) ++(\r,0);
            \fill[blue] (Oa) circle (1.5pt) node[below] {$O$};
            % Projection to hypotenuse
            \coordinate (Ea) at ($(A)!(Oa)!(B)$);
            \draw[red, dashed] (Oa) -- (Ea);
            \node[right, red] at ($(Oa)!0.5!(Ea)$) {$r$};
            \fill[red] (Ea) circle (1pt) node[above right] {$E$};
            \draw[red, dashed] (Oa) -- (C);
            \node[above, red] at ($(Oa)!0.5!(C)$) {$r$};
            % Side labels
            \node[below] at (\x/2, 0) {$x$};
            \node[left] at (0, \y/2) {$y$};
        \end{tikzpicture}
        \caption{Przypadek 1: Średnica na przyprostokątnej.}
        \label{fig:case1}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=1.2, font=\small]
            % Parameters: set a and b (legs lengths)
            \pgfmathsetmacro{\a}{3}  % change these to your desired a and b
            \pgfmathsetmacro{\b}{2.2}
            % compute r = a*b/(a+b)
            \pgfmathsetmacro{\r}{(\a*\b)/(\a+\b)}
            % Triangle coordinates (right angle at C=(0,0))
            \coordinate (C) at (0,0);
            \coordinate (B) at (\a,0);
            \coordinate (A) at (0,\b);
            \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
            % Labels and right angle marker
            \node[below left] at (C) {$C$};
            \node[below right] at (B) {$B$};
            \node[above left] at (A) {$A$};
            \draw (0,0.2) -- (0.2,0.2) -- (0.2,0);
            % center O on the angle bisector y=x at distance r from axes
            \coordinate (O) at (\r,\r);
            \fill[blue] (O) circle (1.5pt) node[above right] {$O$};
            % draw the full circle (we will clip it to the triangle)
            \path[name path=circlepath] (O) circle (\r);
            % draw hypotenuse as a named path
            \path[name path=hyp] (A) -- (B);
            % intersection points between circle and hypotenuse (diameter endpoints)
            \path [name intersections={of=circlepath and hyp, by={D1,D2}}];
            % draw dashed diameter along hypotenuse between D1 and D2
            \draw[blue, dashed] (D1) -- (D2);
            % draw only the portion of the circle inside the triangle by clipping
            \begin{scope}
                \clip (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % clip to triangle
                \draw[blue, thick] (O) circle (\r);
            \end{scope}
            % draw red radii to the contact points with the legs (they are at (r,0) and (0,r))
            \coordinate (T1) at (\r,0);
            \coordinate (T2) at (0,\r);
            % draw radii (only if they lie inside the triangle)
            \draw[red, dashed] (O) -- (T1);
            \draw[red, dashed] (O) -- (T2);
            \node[below, red] at ($(O)!0.5!(T1)$) {$r$};
            \node[left,  red] at ($(O)!0.5!(T2)$) {$r$};
            % mark intersection points D1, D2
            % \fill[blue] (D1) circle (1pt) node[below left] {$D_1$};
            % \fill[blue] (D2) circle (1pt) node[below right] {$D_2$};
            % Side labels
            \node[below] at (\a/2, 0) {$a$};
            \node[left]  at (0, \b/2) {$b$};
        \end{tikzpicture}
        \caption{Przypadek 2: Średnica na przeciwprostokątnej.}
        \label{fig:case2}
    \end{subfigure}
    \caption{Dwa możliwe położenia półkola w trójkącie prostokątnym.}
    \label{fig:cases}
\end{figure*}

\subsubsection*{Przypadek 1: Średnica leży na jednej z przyprostokątnych}

Niech przyprostokątne trójkąta mają długości $x$ i $y$. Załóżmy, że średnica półkola leży na boku o długości $x$ (patrz Rysunek \ref{fig:case1}).

Wierzchołek przy kącie prostym oznaczmy jako $C$. Środek półkola $O$ leży na boku $BC$ o długości $x$. Półkole jest styczne do drugiej przyprostokątnej $AC$ (o długości $y$) oraz do przeciwprostokątnej $AB$.

Ponieważ półkole jest styczne do boku $AC$ w punkcie $C$, odległość jego środka $O$ od boku $AC$ musi być równa promieniowi $r$. Oznacza to, że $|OC| = r$.

Oznaczmy kąt przy wierzchołku $B$ jako $\beta$. Z trójkąta $ABC$ mamy:
$$ 
\tan \beta = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{y}{x}
$$

Niech $E$ będzie punktem styczności półkola z przeciwprostokątną $AB$. Trójkąt $OEB$ jest prostokątny (kąt przy $E$ jest prosty).
Mamy $|OE|=r$ oraz $|OB| = |BC| - |OC| = x - r$. Z trójkąta $OEB$ wynika:
$$
\sin \beta = \frac{|OE|}{|OB|} = \frac{r}{x-r} 
$$

Musimy teraz powiązać $\tan \beta$ i $\sin \beta$. Korzystając z tożsamości $\frac{1}{\sin^2 \beta} = 1 + \cot^2 \beta = 1 + \frac{1}{\tan^2 \beta}$, otrzymujemy:
\begin{align*}
\left(\frac{x-r}{r}\right)^2 &= 1 + \left(\frac{x}{y}\right)^2 \\
\frac{x^2 - 2xr + r^2}{r^2} &= \frac{y^2 + x^2}{y^2}
\end{align*}

Przekształcając, wyznaczamy $y$ w zależności od $x$:
\begin{align*}
y^2(x^2 - 2xr + r^2) &= r^2(y^2 + x^2)\\
y^2x^2 - 2xry^2 + y^2r^2 &= r^2y^2 + r^2x^2\\
y^2x^2 - 2xry^2 &= r^2x^2
\end{align*}

Dzieląc obie strony przez $x$ (zakładamy $x>2r>0$):
\begin{align*}
y^2x - 2ry^2 = r^2x &\implies y^2(x-2r) = r^2x \\
y^2 = \frac{r^2x}{x-2r} &\implies y = r\sqrt{\frac{x}{x-2r}}
\end{align*}

Pole trójkąta $P$ jest funkcją zmiennej $x$:
$$ 
P(x) = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}x \cdot r\sqrt{\frac{x}{x-2r}} = \frac{r}{2}\sqrt{\frac{x^3}{x-2r}} 
$$

Aby znaleźć minimum pola, wystarczy znaleźć minimum funkcji $f(x) = [P(x)]^2 = \frac{r^2}{4}\frac{x^3}{x-2r}$. 

Liczymy pochodną $f'(x)$:
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{r^2}{4} \cdot \frac{3x^2(x-2r) - x^3(1)}{(x-2r)^2} = \frac{r^2}{4} \cdot \frac{3x^3 - 6rx^2 - x^3}{(x-2r)^2} \\
f'(x) &= \frac{r^2}{4} \cdot \frac{2x^3 - 6rx^2}{(x-2r)^2} = \frac{r^2x^2(x-3r)}{2(x-2r)^2} 
\end{align*}

Pochodna zeruje się dla $x=3r$. Analiza znaku pochodnej pokazuje, że dla $x<3r$ jest ona ujemna, a dla $x>3r$ dodatnia, więc w punkcie $x=3r$ funkcja osiąga minimum.

Dla $x=3r$ obliczamy $y$:
$$ 
y = r\sqrt{\frac{3r}{3r-2r}} = r\sqrt{\frac{3r}{r}} = r\sqrt{3} 
$$

Minimalne pole w tym przypadku wynosi:
$$ P_1 = \frac{1}{2}(3r)(r\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2 \approx 2.598 r^2 $$

\subsubsection*{Przypadek 2: Średnica leży na przeciwprostokątnej}

Niech przyprostokątne trójkąta mają długości $a$ i $b$ (patrz Rysunek \ref{fig:case2}). 

Wierzchołek z kątem prostym umieszczamy w początku układu współrzędnych $C(0,0)$. Wierzchołki to $A(0,b)$ i $B(a,0)$.

Półkole jest styczne do obu przyprostokątnych. Oznacza to, że jego środek $O$ musi być równo oddalony od osi $x$ i $y$. Zatem współrzędne środka to $O(r,r)$.

Średnica półkola leży na przeciwprostokątnej, więc środek $O(r,r)$ musi leżeć na prostej przechodzącej przez punkty $A(0,b)$ i $B(a,0)$.

Równanie tej prostej to:
$$ 
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 
$$

Podstawiając współrzędne punktu $O(r,r)$, otrzymujemy zależność między $a$ i $b$:
$$ 
\frac{r}{a} + \frac{r}{b} = 1 \implies r\left(\frac{a+b}{ab}\right) = 1 \implies ab = r(a+b) 
$$

Pole trójkąta wynosi $P = \frac{1}{2}ab$. Korzystając z powyższej zależności:
$$ 
P = \frac{1}{2}r(a+b) 
$$

Minimalizacja pola $P$ jest równoważna minimalizacji sumy $a+b$ przy warunku $ab=r(a+b)$. 

Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM) wiemy, że $a+b \geq 2\sqrt{ab}$. Podstawiając $ab = r(a+b)$, mamy:
$$ 
a+b \geq 2\sqrt{r(a+b)} 
$$

Podnosząc do kwadratu (obie strony są dodatnie):
$$ 
(a+b)^2 \geq 4r(a+b) 
$$

Dzieląc przez $a+b$ (które jest dodatnie):
$$ 
a+b \geq 4r 
$$

Minimalna wartość sumy $a+b$ wynosi $4r$. Równość w nierówności AM-GM zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a=b$.

Jeśli $a=b$, to z warunku $ab=r(a+b)$ otrzymujemy:
$$ 
a^2 = r(a+a) \implies a^2 = 2ra 
$$

Ponieważ $a>0$, możemy podzielić przez $a$, co daje $a=2r$. Zatem $a=b=2r$.

Wymiary trójkąta to przyprostokątne o długości $2r$. Jest to trójkąt prostokątny równoramienny.

Minimalne pole w tym przypadku wynosi:
$$ 
P_2 = \frac{1}{2}a \cdot b = \frac{1}{2}(2r)(2r) = 2r^2 
$$

\subsubsection*{Porównanie i odpowiedź}

Porównajmy minimalne pola z obu przypadków:
\begin{align*}
P_1 &= \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2 \approx 2.598 r^2 \\
P_2 &= 2r^2 
\end{align*}

Ponieważ $3\sqrt{3} > 2$ (gdyż $(3\sqrt{3})^2 = 27$ a $4^2 = 16$), to $P_1 > P_2$.

Najmniejsze pole ma trójkąt, w którym średnica półkola leży na przeciwprostokątnej.

\textbf{Odpowiedź:} Trójkąt o najmniejszym polu to trójkąt prostokątny równoramienny, którego przyprostokątne mają długość $2r$. Jego przeciwprostokątna ma długość $2r\sqrt{2}$.
Generated from: ./other/agh/2025/1.7.tex